Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} - 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- lim_{x \to - 3} 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (- 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.5.2.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.5.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.2.5.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.3.1.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot - 3 + 6} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{- 6 + 6} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3.1.2

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (- 2 - x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 2 - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{- 2 - x}$ e $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{4}{- 2 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot - 1}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{- 4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - (x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2 + x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 3} \frac{- - \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{1 \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.14.6

Multiplique $\frac{4}{2 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Etapa 3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{2 x + 6} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}]$ .

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Etapa 3.16.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{2 x + 6}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + 6$ .

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Etapa 3.16.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x + 6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (2 e^{2 x + 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.16.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.17

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + 0}$

Etapa 3.18

Some $6 e^{2 x + 6}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{2 + x} \cdot \frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{4}{2 + x}$ por $\frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $(2 + x) (6 e^{2 x + 6})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 2}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 + x) (3 e^{2 x + 6})}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} 2 + x \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 3} 2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Etapa 11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Etapa 12

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}}$

Etapa 13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Etapa 14

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Etapa 15

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Etapa 16

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 16.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Etapa 16.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Etapa 17

Simplifique a resposta.

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Etapa 17.1

Combine.

$\frac{2 \cdot 1}{3 ((2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6})}$

Etapa 17.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Etapa 17.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 17.3.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) e^{- 6 + 6}}$

Etapa 17.3.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot - 1 e^{- 6 + 6}}$

Etapa 17.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 17.3.3.1

Fatore o negativo.

$\frac{2}{- (3 e^{- 6 + 6})}$

Etapa 17.3.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{- 3 e^{- 6 + 6}}$

Etapa 17.3.4

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{2}{- 3 e^{0}}$

Etapa 17.3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 1}$

Etapa 17.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{2}{- 3}$

Etapa 17.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3}$