Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{3} + x^{2} - 21 x + 24}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Divida usando a divisão polinomial longa.

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Etapa 1.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Etapa 1.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Etapa 1.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Etapa 1.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Etapa 1.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

Etapa 1.1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

Etapa 1.1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$

Etapa 1.1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$
							-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$24$

Etapa 1.1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} - 6 x + 24$ .

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

Etapa 1.1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

$x$

$0$

Etapa 1.1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Etapa 1.2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x}{(x - 2) (x + 4)}$

Etapa 1.2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Etapa 1.2.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.7.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7.1.2

Divida $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7.4

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 1.2.7.4.2

Divida $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$x = A x + 4 A + (B) (x - 2)$

Etapa 1.2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot - 2$

Etapa 1.2.7.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x + 4 A + B x - 2 B$

Etapa 1.2.8

Mova $4 A$ .

$x = A x + B x + 4 A - 2 B$

Etapa 1.3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 4 A - 2 B$

Etapa 1.3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

Etapa 1.4

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.4.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.4.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 4 A - 2 B$

Etapa 1.4.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

Etapa 1.4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 4 A - 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = 4 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique $4 (1 - B) - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$0 = 4 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Subtraia $2 B$ de $- 4 B$ .

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3

Resolva $B$ em $0 = 4 - 6 B$ .

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Etapa 1.4.3.1

Reescreva a equação como $4 - 6 B = 0$ .

$4 - 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 6 B = - 4$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3

Divida cada termo em $- 6 B = - 4$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 1.4.3.3.1

Divida cada termo em $- 6 B = - 4$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.3.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{2}{3}$ em cada equação.

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Etapa 1.4.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 1.4.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.4.2.1.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $2 x - 3 + \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$2 x - 3 + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 x - 3 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Etapa 1.6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$\int 2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 8.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Etapa 10

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 4} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 11.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| u_{1} |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{3} \ln (| x - 2 |) + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$