Cálculo Exemplos

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 1 + a t$ e $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ .

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = c t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $c t$ .

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $c$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $c t$ em relação a $t$ é $c \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 3.3

Multiplique $c$ por $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + a t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

Etapa 3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

Etapa 3.7

Como $a$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $a t$ em relação a $t$ é $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

Etapa 3.9

Multiplique ${(c t)}^{- 2}$ por $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.3

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.5

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.7

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.8

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.10

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Etapa 4.4.11

Some $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ e $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

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Etapa 4.4.11.1

Reordene $a$ e $- 2$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.4.11.2

Some $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ e $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{c^{2}}$ .

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $\frac{1}{t^{3}}$ por $\frac{2}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Etapa 4.5.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

Etapa 4.5.7

Combine $\frac{1}{c^{2}}$ e $a$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

Etapa 4.5.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 4.5.9

Multiplique $\frac{1}{t^{2}}$ por $\frac{a}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$