Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45 x^{2}$ em relação a $x$ é $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $45$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ e $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (90 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [90 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $90$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $90 x$ em relação a $x$ é $90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $90$ por $1$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45 x^{2}$ em relação a $x$ é $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $45$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 3 x$ de $3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- x) + 90 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $- 3 x$ de $90 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- x) - 3 x \cdot - 30 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- x)$ .

$- 3 x (x^{2} - x) - 3 x \cdot - 30 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2} - x) - 3 x (- 30)$ .

$- 3 x (x^{2} - x - 30) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 30$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 6, 5$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x - 6) (x + 5) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x (x - 6) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6, - 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 6, - 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 {(0)}^{2} + 6 (0) + 90$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 9 \cdot 0 + 6 (0) + 90$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$0 + 6 (0) + 90$

Etapa 9.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 0 + 90$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 90$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $90$ .

$90$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{4} \cdot 0 + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- \frac{3}{4} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{4}) + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 11.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 45 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 45 \cdot 0 + 12$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $45$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 12$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 12$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 12$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $12$ .

$f (0) = 12$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $12$ .

$y = 12$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 {(6)}^{2} + 6 (6) + 90$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 9 \cdot 36 + 6 (6) + 90$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 9$ por $36$ .

$- 324 + 6 (6) + 90$

Etapa 13.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$- 324 + 36 + 90$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $- 324$ e $36$ .

$- 288 + 90$

Etapa 13.2.2

Some $- 288$ e $90$ .

$- 198$

Etapa 14

$x = 6$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \frac{3}{4} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (6) = - \frac{3}{4} \cdot 1296 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot 1296 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.2.2

Fatore $4$ de $1296$ .

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot (4 (324)) + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot 324) + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (6) = - 3 \cdot 324 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $324$ .

$f (6) = - 972 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 45 {(6)}^{2} + 12$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 45 \cdot 36 + 12$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $45$ por $36$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 1620 + 12$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 15.2.2.1

Some $- 972$ e $216$ .

$f (6) = - 756 + 1620 + 12$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 756$ e $1620$ .

$f (6) = 864 + 12$

Etapa 15.2.2.3

Some $864$ e $12$ .

$f (6) = 876$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $876$ .

$y = 876$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) + 90$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- 9 \cdot 25 + 6 (- 5) + 90$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 9$ por $25$ .

$- 225 + 6 (- 5) + 90$

Etapa 17.1.3

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$- 225 - 30 + 90$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 17.2.1

Subtraia $30$ de $- 225$ .

$- 255 + 90$

Etapa 17.2.2

Some $- 255$ e $90$ .

$- 165$

Etapa 18

$x = - 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = - \frac{3}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$f (- 5) = - \frac{3}{4} \cdot 625 + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- \frac{3}{4} \cdot 625$ .

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Etapa 19.2.1.2.1

Multiplique $625$ por $- 1$ .

$f (- 5) = - 625 (\frac{3}{4}) + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.2.2

Combine $- 625$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 3}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.2.3

Multiplique $- 625$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Etapa 19.2.1.5

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 45 \cdot 25 + 12$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $45$ por $25$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 1125 + 12$

Etapa 19.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 19.2.2.1

Escreva $- 125$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125}{1} + 1125 + 12$

Etapa 19.2.2.2

Multiplique $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1125 + 12$

Etapa 19.2.2.3

Multiplique $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + 1125 + 12$

Etapa 19.2.2.4

Escreva $1125$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125}{1} + 12$

Etapa 19.2.2.5

Multiplique $\frac{1125}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125}{1} \cdot \frac{4}{4} + 12$

Etapa 19.2.2.6

Multiplique $\frac{1125}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + 12$

Etapa 19.2.2.7

Escreva $12$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12}{1}$

Etapa 19.2.2.8

Multiplique $\frac{12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 19.2.2.9

Multiplique $\frac{12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 125 \cdot 4 + 1125 \cdot 4 + 12 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.4.1

Multiplique $- 125$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 1125 \cdot 4 + 12 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.4.2

Multiplique $1125$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 4500 + 12 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.4.3

Multiplique $12$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 4500 + 48}{4}$

Etapa 19.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 19.2.5.1

Subtraia $500$ de $- 1875$ .

$f (- 5) = \frac{- 2375 + 4500 + 48}{4}$

Etapa 19.2.5.2

Some $- 2375$ e $4500$ .

$f (- 5) = \frac{2125 + 48}{4}$

Etapa 19.2.5.3

Some $2125$ e $48$ .

$f (- 5) = \frac{2173}{4}$

Etapa 19.2.6

A resposta final é $\frac{2173}{4}$ .

$y = \frac{2173}{4}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$ .

$(0, 12)$ é um mínimo local

$(6, 876)$ é um máximo local

$(- 5, \frac{2173}{4})$ é um máximo local

Etapa 21