Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.8.1.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2 \ln (1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.8.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.8.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.7.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \ln (x + 1) + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (x + 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.8

Combine $2$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 + 2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sin (x) - 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 (3 x^{2})}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 6 x^{2}}$

Etapa 3.9

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}$ por $\frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2 (x + 1) + 2$ e $- 6 x^{2} + 4 \cos (x)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2 (1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Etapa 5.2.2

Fatore $2$ de $2 (x + 1) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Etapa 5.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + 1}{(x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Etapa 12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Etapa 13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Etapa 14

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Etapa 15

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Etapa 16

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Etapa 17

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 18

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 18.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 18.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 18.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Etapa 18.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Etapa 19

Simplifique a resposta.

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Etapa 19.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.1.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Etapa 19.1.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Etapa 19.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 19.2.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2}{1 (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Etapa 19.2.2

Multiplique $- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)$ por $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)}$

Etapa 19.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 19.2.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 19.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cdot 1}$

Etapa 19.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{0 + 2}$

Etapa 19.2.7

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{2}$

Etapa 19.3

Divida $2$ por $2$ .

$1$