Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 2 x^{2}$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$0 + 4 x$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.1.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Etapa 1.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Etapa 1.5.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Etapa 6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Etapa 6.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Etapa 6.2.5

Some $- 1$ e $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Etapa 6.2.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.2.7

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{8}{36}$

Etapa 6.2.8

Cancele o fator comum de $8$ e $36$ .

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Etapa 6.2.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Etapa 6.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.8.2.1

Fatore $4$ de $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{9}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{2}$

Etapa 8