Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Etapa 1

Fatore $2$ de $4 x + 2$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + x + 5$ . Depois, $d u = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Etapa 3.1.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$2 \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$