Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $27$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Reescreva $729$ como $27^{2}$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $27$ de $27$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $27 - \sqrt{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.7

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

Etapa 1.3.8.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.8.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 1.6.5

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Etapa 1.6.6

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Etapa 1.6.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.6.8

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 1.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $2$ de $6 {\sqrt{x}}^{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Etapa 1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de ${\sqrt{x}}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{1}{27}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{27}$

Forma decimal:

$0.\overline{037}$