Cálculo Exemplos

$y = (3 x - 1) (2 x + 5)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 x - 1) (2 x + 5))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

$(3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 1) (2 + 0) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 1$ .

$2 \cdot (3 x - 1) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + 0)$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.12.1

Some $3$ e $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) \cdot 3$

Etapa 3.2.12.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x + 5$ .

$2 (3 x - 1) + 3 \cdot (2 x + 5)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x + 5)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Etapa 3.3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x - 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x - 2 + 6 x + 3 \cdot 5$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$6 x - 2 + 6 x + 15$

Etapa 3.3.3.5

Some $6 x$ e $6 x$ .

$12 x - 2 + 15$

Etapa 3.3.3.6

Some $- 2$ e $15$ .

$12 x + 13$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 12 x + 13$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 13$