Cálculo Exemplos

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{4}$ .

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Etapa 1.3.4

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\sin (x + \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Etapa 7

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 9.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.2.3

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 9.2.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10

A solução para a equação $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

Etapa 12.2

Some $- π$ e $π$ .

$4 \cos (\frac{0}{4})$

Etapa 12.3

Divida $0$ por $4$ .

$4 \cos (0)$

Etapa 12.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 12.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 13

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

Etapa 14.2.2

Some $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

Etapa 14.2.3

Divida $0$ por $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

Etapa 14.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

Etapa 14.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

Etapa 14.2.6

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Etapa 16.2

Some $3 π$ e $π$ .

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 16.3.1

Cancele o fator comum.

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 16.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$4 \cos (π)$

Etapa 16.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$4 (- \cos (0))$

Etapa 16.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.6

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \cdot - 1$

Etapa 16.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Etapa 17

$x = \frac{3 π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um máximo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Etapa 18.2.2

Some $3 π$ e $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 18.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 18.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 18.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

Etapa 18.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

Etapa 18.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 18.2.6

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 18.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

Etapa 18.2.6.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

Etapa 18.2.7

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ é um máximo local

Etapa 20