Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{- 5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $- x^{4}$ por $1$ .

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 15 (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 24 x^{2} - 30 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{- 5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $- x^{4}$ por $1$ .

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x^{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{4}$ .

$- x^{2} x^{2} - 8 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- x^{2}$ de $- 8 x^{3}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $- x^{2}$ de $- 15 x^{2}$ .

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (x^{2}) - x^{2} (8 x)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} \cdot 15 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (x^{2} + 8 x) - x^{2} (15)$ .

$- x^{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} + 8 x + 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $8$ .

$3, 5$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- x^{2} ((x + 3) (x + 5)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- x^{2} (x + 3) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, - 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 3, - 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 - 24 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 - 30 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$0 + 0 - 30 \cdot 0$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 30$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 8$ , do intervalo $(- \infty, - 5)$ na primeira derivada $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f' (- 8) = - {(- 8)}^{4} - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$f' (- 8) = - 1 \cdot 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$f' (- 8) = - 4096 - 8 {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Multiplique $- 8$ por ${(- 8)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.3.1

Multiplique $- 8$ por ${(- 8)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.3.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $1$ .

$f' (- 8) = - 4096 + (- 8) {(- 8)}^{3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{1 + 3} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (- 8) = - 4096 + {(- 8)}^{4} - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.4

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 15 \cdot 64$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $- 15$ por $64$ .

$f' (- 8) = - 4096 + 4096 - 960$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Some $- 4096$ e $4096$ .

$f' (- 8) = 0 - 960$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $960$ de $0$ .

$f' (- 8) = - 960$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 960$ .

$- 960$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- 5, - 3)$ na primeira derivada $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 {(- 4)}^{3} - 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = - 256 - 8 \cdot - 64 - 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 15 \cdot 16$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $- 15$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 256 + 512 - 240$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Some $- 256$ e $512$ .

$f' (- 4) = 256 - 240$

Etapa 10.3.2.2.2

Subtraia $240$ de $256$ .

$f' (- 4) = 16$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 3, 0)$ na primeira derivada $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 {(- 2)}^{3} - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 16 - 8 \cdot - 8 - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 15 \cdot 4$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 16 + 64 - 60$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Some $- 16$ e $64$ .

$f' (- 2) = 48 - 60$

Etapa 10.4.2.2.2

Subtraia $60$ de $48$ .

$f' (- 2) = - 12$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- x^{4} - 8 x^{3} - 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (2) = - 16 - 8 {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = - 16 - 8 \cdot 8 - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 15 \cdot 4$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f' (2) = - 16 - 64 - 60$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Subtraia $64$ de $- 16$ .

$f' (2) = - 80 - 60$

Etapa 10.5.2.2.2

Subtraia $60$ de $- 80$ .

$f' (2) = - 140$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $- 140$ .

$- 140$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 5$ , então $x = - 5$ é um mínimo local.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 3$ , então $x = - 3$ é um máximo local.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} - 5 x^{3} + 9$ .

$x = - 5$ é um mínimo local

$x = - 3$ é um máximo local

$x = - 5$ é um mínimo local

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 11