Cálculo Exemplos

$2^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $2^{\frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

Etapa 3.2.2

Combine $\ln (2)$ e $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$