Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Depois, $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$