Cálculo Exemplos

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4^{2}$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Etapa 1.2

Divida cada termo por $16$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = - 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 2, - 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Etapa 5.3.3

Some $16$ e $16$ .

$\sqrt{32}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 6, - 2)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(2, - 2), (- 6, - 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Etapa 8.3.1.3

Some $16$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 8.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 8.3.2.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 9.3.4.2.4

Divida $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Etapa 11.2

Simplifique $1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $x - (- 2)$ por $1$ .

$y = x - (- 2) - 2$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = x + 2 - 2$

Etapa 11.2.2

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$y = x + 0$

Etapa 11.2.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = x$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Etapa 12.2

Simplifique $- 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) - 2$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 - 2$

Etapa 12.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 2 - 2$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - x - 2 - 2$

Etapa 12.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$y = - x - 4$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = x, y = - x - 4$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 2, - 2)$

Vértices: $(2, - 2), (- 6, - 2)$

Ponto imaginário: $(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Excentricidade: $\sqrt{2}$

Parâmetro focal: $2 \sqrt{2}$

Assíntotas: $y = x$ , $y = - x - 4$

Etapa 15