Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $u^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 5}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $u^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Etapa 9.1.2

Mova $u^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Etapa 9.2

Simplifique.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{4 u^{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Etapa 11.2

Separe as frações.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Etapa 11.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ em $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Etapa 11.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Etapa 11.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$