Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{2})}^{4 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{2})}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{u} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2^{2} {(\frac{1}{2})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2^{2} {(2^{- 1})}^{4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(2^{- 1})}^{4 x}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{- (4 x)} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2^{2} \cdot 2^{- 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $2^{2 - 4 x}$ por $1$ .

$2^{2 - 4 x} \ln (\frac{1}{2})$