Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} + 2$ por $x - 2$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 2 x$ .

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 4$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Etapa 5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 6.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Etapa 6.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Etapa 6.5

Subtraia $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ e $2 x]_{4}^{6}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ em $6$ e em $4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $4$ e em $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.3.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.5

Some $18$ e $12$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $16$ .

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.8

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 9.3.8.1

Fatore $2$ de $16$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.8.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.9

Multiplique $2$ por $4$ .

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.10

Some $8$ e $8$ .

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.11

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 9.3.12

Subtraia $16$ de $30$ .

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

Etapa 11.3

Divida $4$ por $2$ .

$14 + 6 \ln (2)$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$14 + 6 \ln (2)$

Forma decimal:

$18.15888308 \dots$

Etapa 13