Cálculo Exemplos

$- 5 y^{3} = 3 + x + x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 + x + x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 15 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 1 + 3 x^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Some $0$ e $1$ .

$1 + 3 x^{2}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ por $- 15 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 15 y^{2} y' = 3 x^{2} + 1$ por $- 15 y^{2}$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 15$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 15$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{- 15 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 (- 5 y^{2})} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{2}}{- 5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} + \frac{1}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{5 y^{2}} - \frac{1}{15 y^{2}}$