Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.8.1.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.14

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.16

Combine $\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.18

Mova ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.19

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.4.20

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Para escrever $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Etapa 1.5.2

Para escrever $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.5.3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.5.3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 x - 1} (2 \sqrt{x})}}{1}$

Etapa 1.5.3.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Etapa 1.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Etapa 1.6

Divida $\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{\sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Etapa 2.10

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} (2 x - 1) x}}$

Etapa 2.11

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 2.13

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 2.14

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \cdot 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2 \cdot 1 - 1 \cdot 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1}}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 4.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$