Cálculo Exemplos

$- y - 2 x^{3} = y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- y - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y - 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- y' - 2 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- y' - 6 x^{2}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- 6 x^{2} - y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 6 x^{2} - y' = 2 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{2} - y' - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2

Some $6 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$- y' - 2 y y' = 6 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- y' - 2 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' \cdot - 1 - 2 y y' = 6 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' \cdot - 1 + y' (- 2 y) = 6 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot - 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$ por $- 1 - 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 1 - 2 y) = 6 x^{2}$ por $- 1 - 2 y$ .

$\frac{y' (- 1 - 2 y)}{- 1 - 2 y} = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1 - 2 y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 1 - 2 y)}{- 1 - 2 y} = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 - 2 y}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1) - 2 y}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1) - (2 y)}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 y)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (1 + 2 y)}$

Etapa 5.4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$