Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1 + y^{3}} d y$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + y^{3}$ . Depois, $d u = 3 y^{2} d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + y^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{3}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 y^{2}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $3 y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = 1 + y^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 6.2.7.1

Fatore $3$ de $54$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

Etapa 6.2.10

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 6.2.11

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 6.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Etapa 6.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.13.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Etapa 6.2.13.2

Subtraia $2$ de $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

Etapa 6.2.14

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.15

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{52}{9}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{52}{9}$

Forma decimal:

$5.\overline{7}$

Forma de número misto:

$5 \frac{7}{9}$

Etapa 8