Cálculo Exemplos

$y = 3^{\ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

Etapa 3.3

Combine frações.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $3^{\ln (x)}$ .

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ e $\ln (3)$ .

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$