Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$ como $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})$ movendo $2^{x}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $2^{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5.5

Combine frações.

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Etapa 5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 5.5.2

Combine $2$ e $\frac{2^{x}}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $2^{x}$ .

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Etapa 6.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1} \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 7

Combine $\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)))$

Etapa 9

Para escrever $\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 11

Combine $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}$ e $\frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \cdot 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.1.3

Multiplique $\ln (2)$ por $1$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.3

Simplifique.

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Etapa 12.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.1.4

Reordene os fatores em $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})$ .

$\frac{x e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{1 + x} + x^{2} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$\frac{2^{1 + x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$