Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 2$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $2$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 2$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $3$ e em $2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.3.1

Mova $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Combine $2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.5.1

Multiplique $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ .

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Etapa 6.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Etapa 6.2.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Etapa 6.2.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.5.4

Some $3$ e $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

Mova $3^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.2.1

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 7.4.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Forma decimal:

$0.52616117 \dots$

Etapa 9