Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 + \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 + \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Etapa 1.3.5.2

Some $6$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $4$ e em $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Etapa 5.2

$\frac{7}{2}$ é aproximadamente $3.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Etapa 5.4

Multiplique $4 (\frac{2}{7})$ .

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Etapa 5.4.1

Combine $4$ e $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Etapa 5.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{8}{7})$

Forma decimal:

$0.13353139 \dots$