Cálculo Exemplos

$e^{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{\sin (x)}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

Etapa 6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{\sin (x)}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$