Cálculo Exemplos

$\frac{3 + x}{2 - 5 x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 + x$ e $g (x) = 2 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \cdot 1 - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $2 - 5 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) (2 x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 (3 + x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - 5 x^{2} + (10 \cdot 3 + 10 x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 \cdot 3 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 (x \cdot x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x^{2}}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$\frac{2 + 5 x^{2} + 30 x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{5 x^{2} + 30 x + 2}{{(- 5 x^{2} + 2)}^{2}}$