Cálculo Exemplos

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 4.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Some $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ e $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

Etapa 5.2.2

Some $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ e $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$