Cálculo Exemplos

$x y + y^{2} = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$y x' + x + 2 y$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y x' + x + 2 y = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y x' + 2 y = - x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$y x' = - x - 2 y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $y x' = - x - 2 y$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $y x' = - x - 2 y$ por $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$