Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $8 x$ como $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Etapa 1.1.1.3

Adicione parênteses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Etapa 1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.4

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.5

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.8

Como $2^{\frac{3}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.16

Combine $2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.17

Simplifique.

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Etapa 1.17.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.17.2

Mova $2^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18

Multiplique $2^{\frac{3}{2}}$ por $2^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.18.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.18.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.10

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.11.2

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.12.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$