Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $1 + \ln (3)$ e em $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Etapa 3.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Forma decimal:

$4.59918613 \dots$