Cálculo Exemplos

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Etapa 1

Escreva $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ como uma função.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 8.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 9

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Etapa 10

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

Etapa 11

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 13.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 13.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 13.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 13.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Etapa 14

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

Etapa 15

Aplique a regra da constante.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

Etapa 16

Simplifique.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$