Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{3} - x - 3$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $9 x^{2} - 1$ e $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} = 1$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $9 x^{2} = 1$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $9 x^{2} = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Etapa 3.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 3.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $- 3$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{1}{3})$ na primeira derivada $9 x^{2} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ de $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $80$ .

$80$

Etapa 6

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ na primeira derivada $9 x^{2} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ na primeira derivada $9 x^{2} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ de $81$ .

$f' (3) = 80$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $80$ .

$80$

Etapa 8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - \frac{1}{3}$ , há um ponto de inflexão em $x = - \frac{1}{3}$ .

Etapa 9

Encontre a coordenada y de $- \frac{1}{3}$ para determinar o ponto de inflexão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre $f (- \frac{1}{3})$ para determinar a coordenada y de $- \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2

Simplifique $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Remova os parênteses.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{27}$ para o numerador.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.5.2

Fatore $3$ de $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.5.3

Cancele o fator comum.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.7

Multiplique $- (- \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 9.1.2.2.7.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Etapa 9.1.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Etapa 9.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Etapa 9.1.2.3.3

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Etapa 9.1.2.3.4

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 9.1.2.3.5

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 9.1.2.3.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 9.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 9.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Etapa 9.1.2.5.2

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Etapa 9.1.2.5.3

Subtraia $27$ de $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Etapa 9.1.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{25}{9}$

Etapa 9.2

Escreva as coordenadas $x$ e $y$ em forma de ponto.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Etapa 10

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{1}{3}$ , há um ponto de inflexão em $x = \frac{1}{3}$ .

Etapa 11

Encontre a coordenada y de $\frac{1}{3}$ para determinar o ponto de inflexão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Encontre $f (\frac{1}{3})$ para determinar a coordenada y de $\frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2

Simplifique $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Remova os parênteses.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.2.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2.4.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Etapa 11.1.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Etapa 11.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Etapa 11.1.2.3.3

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Etapa 11.1.2.3.4

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 11.1.2.3.5

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.1.2.3.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Etapa 11.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Etapa 11.1.2.5.3

Subtraia $27$ de $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Etapa 11.1.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29}{9}$

Etapa 11.2

Escreva as coordenadas $x$ e $y$ em forma de ponto.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Etapa 12

Estes são os pontos de inflexão.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Etapa 13