Cálculo Exemplos

$\sqrt{2 x + y} = 2 x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + y}$ como ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 x$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.6.3

Mova ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.11

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $2 + y'$ por $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 + y' = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.4

Reordene $2$ e $y'$ .

$y' + 2 = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' + 2 = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y' = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$