Cálculo Exemplos

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{7}{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{7}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.6

Combine $a$ e $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.7

Mova $49$ para a esquerda de $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique $7 (- \frac{7}{2})$ .

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Etapa 3.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Etapa 3.2.1.8.2

Combine $- 7$ e $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Etapa 3.2.1.8.3

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Etapa 3.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Etapa 3.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $6$ de $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Etapa 3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Etapa 3.2.7

A resposta final é $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Etapa 5