Cálculo Exemplos

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Remova os parênteses.

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

Etapa 1.2

Remova os parênteses.

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

Etapa 3

A derivada de $V$ em relação a $r$ é $V'$ .

$V'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Combine frações.

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Etapa 4.1.1

Combine $π$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Etapa 4.1.2

Combine $r^{2}$ e $\frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

Etapa 4.1.3

Combine $\frac{r^{2} π}{3}$ e $h$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

Etapa 4.2

Como $\frac{π h}{3}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{r^{2} π h}{3}$ em relação a $r$ é $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{π h}{3} (2 r)$

Etapa 4.4

Combine frações.

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Etapa 4.4.1

Combine $2$ e $\frac{π h}{3}$ .

$\frac{2 (π h)}{3} r$

Etapa 4.4.2

Combine $\frac{2 (π h)}{3}$ e $r$ .

$\frac{2 π h r}{3}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

Etapa 6

Substitua $V'$ por $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$