Cálculo Exemplos

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 6}{4 x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x - 6}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.6

Combine frações.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $- 6$ de $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.3.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Etapa 3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Etapa 3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2 x^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3}{2 x^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 x^{2}}$