Cálculo Exemplos

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ como $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.1.2.1

Reordene $\tan (x)$ e $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva $\tan (x) \cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.2.3

Cancele os fatores comuns.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.1.3.1

Reescreva $\cot (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $\cot (x) \cot (x)$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Etapa 4.3.1.4.2

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Etapa 4.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 4.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 9

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 11

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 14

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

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Etapa 15.1.1

Some $- x$ e $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Etapa 15.1.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Etapa 15.1.3

Some $C + \tan (x) + C + C$ e $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$