Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $4$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $3 x^{3}$ por $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 81$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + 0$

Etapa 1.5.2

Some $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ e $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 162 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 162 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 162 x$ em relação a $x$ é $- 162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 162$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $4$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $3 x^{3}$ por $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 81$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} - 9 x^{2} - 162 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x^{2} - 162 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $3 x$ de $- 9 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x) - 162 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $3 x$ de $- 162 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x) + 3 x (- 54) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3 x)$ .

$3 x (x^{2} - 3 x) + 3 x (- 54) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2} - 3 x) + 3 x (- 54)$ .

$3 x (x^{2} - 3 x - 54) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 54$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 54$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 9, 6$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 x ((x - 9) (x + 6)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x (x - 9) (x + 6) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 5.6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 9) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 9, - 6$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 9, - 6$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 162$

Etapa 9.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 - 18 \cdot 0 - 162$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$0 + 0 - 162$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 162$

Etapa 9.2.2

Subtraia $162$ de $0$ .

$- 162$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} - 81 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - 81 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 81 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 11.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 - 16$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 81$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 16$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 16$

Etapa 11.2.2.3

Subtraia $16$ de $0$ .

$f (0) = - 16$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$y = - 16$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 9$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 162$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Multiplique $9$ por ${(9)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Multiplique $9$ por ${(9)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$9^{1} {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 162$

Etapa 13.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9^{1 + 2} - 18 \cdot 9 - 162$

Etapa 13.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$9^{3} - 18 \cdot 9 - 162$

Etapa 13.1.2

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$729 - 18 \cdot 9 - 162$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 18$ por $9$ .

$729 - 162 - 162$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $162$ de $729$ .

$567 - 162$

Etapa 13.2.2

Subtraia $162$ de $567$ .

$405$

Etapa 14

$x = 9$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 9$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = \frac{3}{4} \cdot {(9)}^{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $9$ à potência de $4$ .

$f (9) = \frac{3}{4} \cdot 6561 - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot 6561$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $6561$ .

$f (9) = \frac{3 \cdot 6561}{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $6561$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 3 {(9)}^{3} - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 3 \cdot 729 - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $729$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 81 {(9)}^{2} - 16$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 81 \cdot 81 - 16$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 81$ por $81$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} - 2187 - 6561 - 16$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Escreva $- 2187$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187}{1} - 6561 - 16$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{- 2187}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187}{1} \cdot \frac{4}{4} - 6561 - 16$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{- 2187}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} - 6561 - 16$

Etapa 15.2.2.4

Escreva $- 6561$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561}{1} - 16$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{- 6561}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561}{1} \cdot \frac{4}{4} - 16$

Etapa 15.2.2.6

Multiplique $\frac{- 6561}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} - 16$

Etapa 15.2.2.7

Escreva $- 16$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16}{1}$

Etapa 15.2.2.8

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 15.2.2.9

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (9) = \frac{19683}{4} + \frac{- 2187 \cdot 4}{4} + \frac{- 6561 \cdot 4}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (9) = \frac{19683 - 2187 \cdot 4 - 6561 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.4.1

Multiplique $- 2187$ por $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 6561 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 6561$ por $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 26244 - 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$f (9) = \frac{19683 - 8748 - 26244 - 64}{4}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.5.1

Subtraia $8748$ de $19683$ .

$f (9) = \frac{10935 - 26244 - 64}{4}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $26244$ de $10935$ .

$f (9) = \frac{- 15309 - 64}{4}$

Etapa 15.2.5.3

Subtraia $64$ de $- 15309$ .

$f (9) = \frac{- 15373}{4}$

Etapa 15.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (9) = - \frac{15373}{4}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- \frac{15373}{4}$ .

$y = - \frac{15373}{4}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(- 6)}^{2} - 18 \cdot - 6 - 162$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$9 \cdot 36 - 18 \cdot - 6 - 162$

Etapa 17.1.2

Multiplique $9$ por $36$ .

$324 - 18 \cdot - 6 - 162$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 18$ por $- 6$ .

$324 + 108 - 162$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 17.2.1

Some $324$ e $108$ .

$432 - 162$

Etapa 17.2.2

Subtraia $162$ de $432$ .

$270$

Etapa 18

$x = - 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 6$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot {(- 6)}^{4} - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot 1296 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 19.2.1.2.1

Fatore $4$ de $1296$ .

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot (4 (324)) - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 6) = \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot 324) - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 6) = 3 \cdot 324 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $3$ por $324$ .

$f (- 6) = 972 - 3 {(- 6)}^{3} - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f (- 6) = 972 - 3 \cdot - 216 - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 216$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 81 {(- 6)}^{2} - 16$

Etapa 19.2.1.6

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 81 \cdot 36 - 16$

Etapa 19.2.1.7

Multiplique $- 81$ por $36$ .

$f (- 6) = 972 + 648 - 2916 - 16$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Some $972$ e $648$ .

$f (- 6) = 1620 - 2916 - 16$

Etapa 19.2.2.2

Subtraia $2916$ de $1620$ .

$f (- 6) = - 1296 - 16$

Etapa 19.2.2.3

Subtraia $16$ de $- 1296$ .

$f (- 6) = - 1312$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 1312$ .

$y = - 1312$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - 3 x^{3} - 81 x^{2} - 16$ .

$(0, - 16)$ é um máximo local

$(9, - \frac{15373}{4})$ é um mínimo local

$(- 6, - 1312)$ é um mínimo local

Etapa 21