Cálculo Exemplos

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Combine $2^{\sqrt{x}}$ e $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 5

Como $\ln (2)$ é constante com relação a $x$ , mova $\ln (2)$ para fora da integral.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 6.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 7.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 7.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 7.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 7.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 7.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 7.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 7.1.8

Simplifique.

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Etapa 7.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $2^{u_{1}}$ .

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Etapa 8.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 9.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 9.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 9.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $2^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ como $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $\ln (2)$ e $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

Etapa 11.2.3

Multiplique $2^{u_{2}}$ por $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$