Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Etapa 2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Etapa 2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ como ${u_{1}}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ como ${u_{1}}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ e ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

Etapa 3.5

Mova ${u_{1}}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Depois, $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , então, $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 {u_{1}}^{- 1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

Etapa 6.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

Etapa 6.1.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

Etapa 6.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 6.3.2.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

Etapa 6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Etapa 6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10

Avalie $e^{u_{2}}$ em $\frac{1}{2}$ e em $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Etapa 11.2

Combine $e^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Etapa 11.3

Multiplique $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

Etapa 11.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

Etapa 11.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Forma decimal:

$1.43508370 \dots$

Etapa 13