Cálculo Exemplos

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Etapa 1

Escreva $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ como uma função.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Etapa 4

Deixe $u = x + 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Some $- 3$ e $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Etapa 5.2

Some $- 3$ e $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.7

Reordene $u$ e $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.8

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.9

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.11

Some $1$ e $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.12

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.14

Some $2$ e $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.15

Fatore o negativo.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.16

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.17

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.19

Some $1$ e $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.20

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.21

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.23

Some $1$ e $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Etapa 6.24

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Etapa 6.25

Subtraia $2 u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Etapa 9

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Etapa 13.2.2

Combine $2$ e $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Etapa 13.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Etapa 13.2.3.2

Divida $u^{2}$ por $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$