Cálculo Exemplos

$z = {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.7.3

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.7.4

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.8

Como $y^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)$

Etapa 3.9

Simplifique os termos.

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Etapa 3.9.1

Some $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9.2

Combine $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.9.4

Combine $\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9.5

Fatore $3$ de $6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.10.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 3.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1.1

Reescreva ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ como $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.2

Expanda $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.11.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.11.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.1.3.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.5

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.1.3.1.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.5.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.5.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{1})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.1.6

Simplifique $y^{1}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.2

Some $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ e $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.11.1.3.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.3.2.2

Some $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.11.1.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.1.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11.2

Reordene os termos.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$