Cálculo Exemplos

$y = x e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.8.1

Mova $x$ .

$- 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.8.3

Some $1$ e $2$ .

$- 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2.3

Mova $e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$