Cálculo Exemplos

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3^{- (i + 1)}$ e $3^{- i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3^{- i}$ de $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Divida $3^{- (i + 1) + i}$ por $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Etapa 2.2.3

Combine os termos opostos em $- i - 1 + i$ .

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Etapa 2.2.3.1

Some $- i$ e $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Etapa 2.2.3.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Etapa 2.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.1

Substitua $- 2$ por $i$ em $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$a = 9$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ para o numerador.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $3$ de $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.9

Combine $3$ e $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.11.1

Multiplique $3$ por $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $1$ de $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.7.1

Fatore $2$ de $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$9 (\frac{364}{243})$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.8.1

Fatore $9$ de $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Etapa 5.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{364}{27}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{364}{27}$

Forma decimal:

$13.\overline{481}$

Forma de número misto:

$13 \frac{13}{27}$