Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 8

Fatore $9$ de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $9$ de $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 8.2

Fatore $9$ de $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 8.3

Fatore $9$ de $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 10

Reescreva $\frac{1}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Etapa 12.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Etapa 12.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Etapa 12.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Etapa 12.2

Reescreva $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ como $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 12.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$