Cálculo Exemplos

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ como $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3.1.1.2

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Etapa 4.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 4.3.1.3.2

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 4.3.1.3.3

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 4.3.1.3.4

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Etapa 4.3.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 4.3.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Etapa 4.3.2

Reordene os fatores de $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Etapa 4.3.3

Subtraia $\cos (2 x) \sin (2 x)$ de $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Etapa 4.4

Mova $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 4.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 8.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 8.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie.

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Etapa 8.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 8.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 9.2

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 13.3

Multiplique $\int u_{2} d u_{2}$ por $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$