Cálculo Exemplos

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 0$ na função de linearização.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Etapa 3

Avalie $f (0)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $θ$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \cos ((0) + \frac{π}{3})$

Etapa 3.2

Simplifique $\cos ((0) + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Etapa 3.2.2

Some $0$ e $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $0$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $θ + \frac{π}{3}$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $θ + \frac{π}{3}$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Etapa 4.1.2.3

Como $\frac{π}{3}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $\frac{π}{3}$ em relação a $θ$ é $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3})$

Etapa 4.2

Substitua a variável $θ$ por $0$ na expressão.

$- \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Some $0$ e $\frac{π}{3}$ .

$- \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - 0)$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Subtraia $0$ de $x$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{x \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7