Cálculo Exemplos

$y = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $3 x^{2} + 2 x - 8$ e $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $3 x^{2} + 2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x - 8$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva $2$ como $- 4$ mais $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 5.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{4}{3}) + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{4}{3} + 2$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3} + 2$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 4 + 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 + 2$

Etapa 9.2

Some $8$ e $2$ .

$10$

Etapa 10

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $- 8 (\frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Combine $- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 5$

Etapa 11.2.1.7.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 5$

Etapa 11.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 5$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 5$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 5$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Etapa 11.2.2.5

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 32$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $5$ por $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 135}{27}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Some $64$ e $48$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{112 - 288 + 135}{27}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $288$ de $112$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 176 + 135}{27}$

Etapa 11.2.5.3

Some $- 176$ e $135$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 41}{27}$

Etapa 11.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{41}{27}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $- \frac{41}{27}$ .

$y = - \frac{41}{27}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- 2) + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$- 12 + 2$

Etapa 13.2

Some $- 12$ e $2$ .

$- 10$

Etapa 14

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 - 8 \cdot - 2 + 5$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 + 16 + 5$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Some $- 8$ e $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 16 + 5$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 4$ e $16$ .

$f (- 2) = 12 + 5$

Etapa 15.2.2.3

Some $12$ e $5$ .

$f (- 2) = 17$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $17$ .

$y = 17$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ .

$(\frac{4}{3}, - \frac{41}{27})$ é um mínimo local

$(- 2, 17)$ é um máximo local

Etapa 17