Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - x - 11$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.7

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.8

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.1.3

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.1.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 4.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.2

Some $2 e^{x} x$ e $x e^{x}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.2.2

Some $2 x e^{x}$ e $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4.3

Some $- e^{x}$ e $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $e^{x}$ de $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $e^{x}$ de $3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $e^{x}$ de $10 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.1.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.1.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.2

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.6.3.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 4.6.3.2.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.2.2

Reescreva $3$ como $- 2$ mais $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.6.3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

Etapa 4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

Etapa 4.7.2.4

Divida $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ por $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

Etapa 4.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Etapa 4.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Etapa 4.10

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

Etapa 4.11

Expanda $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

Etapa 4.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

Etapa 4.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Etapa 4.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.12.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.1.1.1

Mova $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Etapa 4.12.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Etapa 4.12.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Etapa 4.12.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Etapa 4.12.2

Subtraia $2 e^{- x} x$ de $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Etapa 4.13

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$